Это соответствие, при котором каждому элементу х из множества D по некоторому правилу сопоставляется определенное число у, зависящее от х. Обозначение: y = f(x) х у Независимая переменная или аргумент зависимая переменная или значение функции D(f) E(f) Область определения функции Область значения функции Числовая функция с областью определения D
Чётность функции Функция y=f(x), называется чётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). Функция y=f(x), называется нечётной, если для любого значения х из области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Монотонность функции (Возрастание и убывание функции) Функцию у=f(x) называют возрастающей на множестве Х є D(f), если для любых точек х 1 и х 2 множества Х таких, что х 1 f(x 2)
f(x 2)">
Как построить график периодической функции Если функция у=f(x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить ветвь (волну, часть) графика на любом промежутке длины Т, а затем сдвинуть эту ветвь по оси х вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.
Ограниченность функции Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. (т.е. если существует число m такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x) > m. Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. (т.е. если существует число M такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x)
m. Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х є D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. (т.е. если существует число M такое, что для любого значения х є Х выполняется неравенство: f(x)
Наибольшее и наименьшее значение функции Число m называют наименьшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o)=m; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o) Число M называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве Х є D(f), если: 1) существует точка х o є Х такая, что f(х o)=M; 2) Для любого значения х є Х выполняется неравенство f(x)f(x o)
Выпуклость функции Функция выпукла вверх на промежутке X с Dif), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X с D(f), если, соединив любые две точки ее графика с абсциссами из X отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка
Непрерывность функции непрерывность функции на промежутке X означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва (т. е. представляет собой сплошную линию). Замечание. На самом деле о непрерывности функции можно говорить только тогда, когда доказано, что функция является непрерывной. Но соответствующее определение сложное и нам пока не по силам (мы дадим его позднее, в § 26). То же самое можно сказать и о понятии выпуклости. Поэтому, обсуждая указанные два свойства функций, будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.
Точки экстремумов и экстремум функции. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции. Определение. Точка x 0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0). Определение. Точка x 0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0).
Схема исследования функции 1 - Область определения 2 - четность (нечетность) 3 - наименьший положительный период 4 - промежутки возрастания и убывания 5 – точки экстремумов и экстремумы функции 6 – ограниченность функции 7 – непрерывность функции 8 - наибольшее и наименьшее значение функции 9 - Область значений 10 –выпуклость функции
Данный материал составлен по ФГОС
урок математики в 9 классе по теме: «Числовые функции их свойства и графики», учебник А.Г.Мордковича.
Урок развивающего контроля и открытия нового знания
приложение к уроку и презентация.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Числовые функции, их свойства и Графики. Урок математики в 9 классе на итоговой аттестации ИДПО подгруппа №9 Заводской район г. Саратова 25.10.2013
Эпиграф «Единственный путь, ведущий к знанию – это деятельность». Бернард Шоу
Творческая работа Придумать « кусочную » функцию, построить график и прочитать его. Решение у =
Устная работа Назвать функцию и задать её аналитически
Теоретический опрос Сформулируйте определение числовой функции. Что называют областью определения функции. Что называют графиком функции. Перечислите способы задания функции. Какую функцию называют возрастающей (убывающей). Какую функцию называют четной (нечетной). Какое число называют наименьшим (наибольшим) значением функции. Какая функция называется ограниченной.
Тесты в формате ГИА (базовый уровень)
ответы Вариант № 5 Вариант № 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3
Выполнение упражнений гиа № 1. Постройте график функции у = х 2 - 4 +3 , пользуясь графиком, найдите промежутки монотонности. При каких значениях a прямая у=а имеет две общие точки с графиком данной функции? Ответ: а>3, а = -1
№ 2. Решите графически неравенство х -2 ≤ -х 3 Ответ: х≤ -1
Я узнал Я научился Я повторил Я закрепил Сегодня на уроке
Предварительный просмотр:
Технологическая карта урока математики в 9 классе по теме: «Числовые функции их свойства и графики», учебник А.Г.Мордковича. Урок развивающего контроля и открытия нового знания. | ||||||||||||||||||
Этапы урока | Задачи этапа | Деятельность учителя | Деятельность ученика | УУД |
||||||||||||||
1. Организационный Самоопределение к учебной деятельности (1) | Создать благоприятный психологический настрой на работу | Приветствие, мобилизация внимания детей. | Сообщают об отсутствующих, включаются в деловой ритм урока. | Личностные: самоопределение Регулятивные : оценка готовности к уроку |
||||||||||||||
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся. (3) | Актуализация опорных знаний и способов деятельности | Сообщает тему и цель урока, дату записывает на доске Сегодня на уроке мы подведем итоги изучения главы «Числовые функции». Продолжим отрабатывать навыки построения и чтения графиков изученных функций и посмотрим, насколько глубоко изученная тема представлена в экзаменационных тестах. | Делают запись в тетради | Регулятивные: целеполагание Коммуникативные: подготовка к рефлексии |
||||||||||||||
3. Актуализация знаний (12) | Актуализация опорных знаний и способов деятельности с целью подготовки к контрольному уроку. | К уроку вам было предложено придумать «кусочную» функцию, построить график и прочитать его. Посмотрим ваше творчество. 1.Вызывает по желанию 2 учащихся к доске. 2.Проводит параллельно слайд-шоу графиков всех изученных числовых функций. (Приложение№2). 3.Проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам (Приложение№3) 4.Выставляет оценки за д/з, за устную работу с учётом д/з. | 1. Два человека работают у доски. (Приложение№1) 2.Остальные учащиеся с места называют изображенную функцию, задают её аналитически. 3.Учащиеся принимают активное участие в устном опросе. | Регулятивные: волевая саморегуляция в ситуации затруднения Коммуникативные : выражение своих мыслей аргументация своего мнения Познавательные: умение применять знания для практических задач Личностные: формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового |
||||||||||||||
4.Обобщение и систематизация знаний.(8) | Промежуточная рефлексия | Мы изучили и повторили свойства числовых функций. Проведем небольшое тестирование и убедимся в прочности ваших знаний. Предлагаемые тесты соответствуют базовому уровню сложности, у вас 7минут. Желаю успеха! 1. Раздает тесты (Приложение№4) 2.Собирает листочки после окончания времени, записывает на доске правильные ответы
3. Многие выполнили тест хорошо, некоторые поняли, что необходимо повторить. | Решают тест, делая запись в тетради, если необходимо. После окончания времени сдают листочки. Проверяют свои ответы. | Регулятивные: осознать качество и уровень усвоения знаний Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задач Личностные: формирование навыков самоанализа и самоконтроля |
||||||||||||||
5. Применение знаний и умений в новой ситуации. (15) | Развитие исследовательских навыков, самодиагностики и само коррекции результатов | Выполнение упражнений (ГИА) №1Постройте график функции Y = x 2 -4 +3 пользуясь графиком , найдите промежутки монотонности. При каких значениях a прямая у=а имеет две общие точки с графиком данной функции? (Приложение№5) Кратко записывает задание на доске, вызывает ученика для решения, следит за грамотным решением задания. Оценивает. №2. Решите графически неравенство х -2 ≤ -х 3 (Приложение№6) Вызывает учащихся для построения графиков функций, объясняет как с помощью пробных точек по графику определить решение неравенства (штриховка) | Два человека работают по карточкам на боковой доске индивидуально, остальные выполняют в тетради решение задания №1. На интерактивной доске изображают графики функций. Предлагают решить неравенство подбором или алгебраическим путем. Завершают решение неравенства, пишут ответ. | Личностные: формирование познавательного интереса к предмету исследования, устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового Познавательные: анализировать объект, выделяя существенные и несущественные признаки. Коммуникативные: организовывать учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками. Регулятивные: определять новый уровень отношения к самому себе как субъекту деятельности |
||||||||||||||
6.Информация о домашнем задании (2) | Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания | 1 уровень: повторить п7, №27,29 2 уровень:повторить п.7, №30,33 | Записывают домашнее задание | |||||||||||||||
7.Рефлексия.(4) | Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся Инициировать рефлексию детей по поводу мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми | 1. Предлагает продолжить предложение «Сегодня на уроке Я повторил … Я закрепил … Я научился … Я узнал …» 2. Предлагает отметить в карточке то высказывание, которое больше всего подходит к работе на уроке 3. Выставляет оценки | 1. Отвечают на вопросы 2. Отмечают в карточках (приложение №7) | Познавательные: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности Коммуникативные : умение выражать свои мысли, аргументация |
Предварительный просмотр:
Приложение 1.
(проерка домашнего задания)
Решение
Предварительный просмотр:
Приложение 2
Устная работа
Назвать функцию и задать её аналитически
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Приложение 3
Теоретический опрос
- Сформулируйте определение числовой функции.
Уроки 1-2. Определение числовой функции и способы ее задания
09.07.2015 11704 0Цель: обсудить определение функции, способы ее задания.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение материала 9 класса
Различные аспекты этой темы уже рассматривались в 7-9 классах. Теперь необходимо расширить и обобщить сведения о функциях. Напомним, что тема является одной из важнейших для всего курса математики. Различные функции будут изучаться вплоть до окончания школы и далее в высших учебных заведениях. Данная тема вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовыми задачами, прогрессиями и т. д.
Определение 1. Пусть даны два множества действительных чисел D и Е и указан закон f по которому каждому числу х ∈ D ставится в соответствие единственное числом y ∈ Е (см. рисунок). Тогда говорят, что задана функция у = f (x ) или у(х) с областью определения (О.О.) D и областью изменения (О.И.) Е. При этом величину х называют независимой переменной (или аргументом функции), величину у - зависимой переменной (или значением функции).
Область определения функции f обозначают D (f ). Множество, состоящее из всех чисел f (x ) (область значений функции f ), обозначают E (f ).
Пример 1
Рассмотрим функцию
Для нахождения у для каждого значения х необходимо выполнить следующие операции: из величины х вычесть число 2 (х - 2), извлечь квадратный корень из этого выражения
и, наконец, прибавить число 3
Совокупность этих операций (или закон, по которому для каждого значения х ищется величина у) и называется функцией у(х). Например, для х = 6 находим
Таким образом, для вычисления функции у в данной точке х необходимо подставить эту величину х в данную функцию у(х).
Очевидно, что для данной функции для любого допустимого числа х можно найти только одно значение у (т. е. каждому значению х соответствует одно значение у).
Рассмотрим теперь область определения и область изменения этой функции. Извлечь квадратный корень из выражения (х - 2) можно, только если эта величина неотрицательная, т. е. х - 2 ≥ 0 или х ≥ 2. Находим
Так как по определению арифметического корня
то прибавим ко всем частям этого неравенства число 3, получим:
или 3 ≤ у < +∞. Находим
В математике часто используются рациональные функции. При этом функции вида f (x ) = р(х) (где р(х) - многочлен) называют целыми рациональными функциями. Функции вида (где р(х) и q (x ) - многочлены) называют дробно-рациональными функциями. Очевидно, дробь определена, если знаменатель q (x ) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции - множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x ).
Пример 2
Рациональная функция
определена при х - 2 ≠ 0, т. е.
x
≠ 2. Поэтому область определения данной функции - множество всех не равных 2 действительных чисел, т. е. объединение интервалов (-∞; 2) и (2; ∞).
Напомним, что объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В. Объединение множеств А к В обозначается символом А U В. Так, объединением отрезков и (3; 9) является промежуток (непересекающиеся промежутки) обозначают .
Возвращаясь к примеру, можно записать: Так как при всех допустимых значениях х дробь не обращается в нуль, то функция f (x ) принимает все значения, кроме 3. Поэтому
Пример 3
Найдем область определения дробно-рациональной функции
Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1 и х = -3. Поэтому область определения данной функции
Пример 4
Зависимость
уже не является функцией. Действительно, если мы хотим вычислить значение у, например, для х = 1, то, пользуясь верхней формулой, найдем: у = 2 · 1 - 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим: у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению
x
(x
= 1) соответствуют два значения у (у = -1 и у = 2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией.
Пример 5
Приведены графики двух зависимостей y (x ). Определим, какая из них является функцией.
На рис. а приведен график функции, так как любой точке x 0 соответствует только одно значение у0. На рис. б приведен график какой- то зависимости (но не функции), так как существуют такие точки (например, x 0 ), которым отвечает более одного значения у (например, у1 и у2).
Рассмотрим теперь основные способы задания функций.
1) Аналитический (с помощью формулы или формул).
Пример 6
Рассмотрим функции:
Несмотря на непривычную форму, это соотношение также задает функцию. Для любого значения х легко найти величину у. Например, для х = -0,37 (так как х < 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х > 0, то пользуемся нижним выражением) имеем:
Из способа нахождения у понятно, что любой величине х отвечает только одно значение у.
в) 3х + у = 2у - х2. Выразим из этого соотношения величину у: 3х + х2 = 2у - у или х2 + 3х = у. Таким образом, это соотношение также задает функцию у = х2 + 3х.
2) Табличный
Пример 7
Выпишем таблицу квадратов у для чисел х.
2,25 | 6,25 |
Данные таблицы также задают функцию - для каждого (приведенного в таблице) значения х можно найти единственное значение у. Например, у(1,5) = 2,25, y (5) = 25 и т. д.
3) Графический
В прямоугольной системе координат для изображения функциональной зависимости у(х) удобно пользоваться специальным рисунком - графиком функции.
Определение 2. Графиком функции y (x ) называют множество всех точек системы координат, абсциссы которых равны значениям независимой переменной х, а ординаты - соответствующим значениям зависимой переменной у.
В силу такого определения все пары точек (х0, у0), которые удовлетворяют функциональной зависимости у(х), расположены на графике функции. Любые другие пары точек, не удовлетворяющие зависимости y (x ), на графике функции не лежат.
Пример 8
Дана функция
Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?
1. Найдем значение функции у при Так как у(-2) = -6, то точка А (-2; -6) принадлежит графику данной функции.
2. Определим значение функции у при Так как y (-3) = -11, то точка В (-3; -10) не принадлежит графику этой функции.
По данному графику функции у = f (x ) легко найти область определения D (f ) и область значений E (f ) функции. Для этого точки графика проецируют на оси координат. Тогда абсциссы этих точек образуют область определения D (f ), ординаты - область значений E (f ).
Сравним различные способы задания функции. Наиболее полным следует считать аналитический способ. Он позволяет составить таблицу значений функции для некоторых значений аргументов, построить график функции, провести необходимое исследование функции. Вместе с тем табличный способ позволяет быстро и легко найти значение функции для некоторых значений аргумента. График функции наглядно показывает ее поведение. Поэтому противопоставлять различные способы задания функции не следует каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. На практике используются все три способа задания функции.
Пример 9
Дана функция у = 2х2 - 3х +1.
Найдем: а) y (2); б) y (-3х); в) у(х + 1).
Для того чтобы найти значение функции при каком-то значении аргумента, необходимо подставить это значение аргумента в аналитический вид функции. Поэтому получим:
Пример 10
Известно, что у(3 - х) = 2х2 - 4. Найдем: а) y (x ); б) у(-2).
а) Обозначим буквой z = 3-х, тогда х = 3 - z . Подставим это значение х в аналитический вид данной функции у(3 - х) = 2х2 - 4 и получим: y (3 - (3 - z )) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (3 - z )2 - 4, или y (z ) = 2 · (9 - 6 z + z 2 ) - 4, или y (z ) = 2х2 - 12 z + 14. Так как безразлично, какой буквой обозначен аргумент функции - z , х, t или любой другой, то сразу получим: у(х) = 2х2 - 12х + 14;
б) Теперь легко найти у(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Пример 11
Известно, что
Найдем х(у).
Обозначим буквой
z
=
x
- 2, тогда х =
z
+ 2, и запишем условие задачи:
или
To
же условие запишем для аргумента (-
z
):
Для удобства введем новые переменные
a
=
y
(z
) и
b
=
y
(-
z
). Для таких переменных получим систему линейных уравнений
Нас интересует неизвестная a .
Для ее нахождения используем способ алгебраического сложения. Поэтому умножим первое уравнение на число (-2), второе уравнение - на число 3. Получим:
Сложим эти уравнения:
откуда
Так как аргумент функции можно обозначать любой буквой, то имеем:
В заключение заметим, что к концу 9 класса были изучены свойства и графики:
а) линейной функции у = кх + m (график - прямая линия);
б) квадратичной функции у = ах2 + b х + с (график - парабола);
в) дробно-линейной функции (график - гипербола), в частности функции
г) степенной функции у = ха (в частности, функции
д) функции у = |х|.
Для дальнейшего изучения материала рекомендуем повторить свойства и графики указанных функций. На следующих занятиях будут рассмотрены основные способы преобразования графиков.
1. Дайте определение числовой функции.
2. Расскажите о способах задания функции.
3. Что называется объединением множеств А и B ?
4. Какие функции называются целыми рациональными?
5. Какие функции называются дробно-рациональными? Как находится область определения таких функций?
6. Что называют графиком функции f (х)?
7. Приведите свойства и графики основных функций.
IV. Задание на уроках
§ 1, № 1 (а, г); 2 (в, г); 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 6 (в); 7 (а, б); 8 (в, г); 10 (a ); 13 (в, г); 16 (а, б); 18.
V. Задание на дом
§ 1, № 1 (б, в); 2 (а, б); 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 6 (г); 7 (в, г); 8 (а, б); 10 (б); 13 (а, б); 16 (в, г); 19.
VI. Творческие задания
1. Найдите функцию у = f (х), если:
Ответы:
2. Найдите функцию у = f (x ) если:
Ответы:
VII. Подведение итогов уроков
Разделы: Математика
Класс: 9
Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.
Оборудование:
- Интерактивное оборудование (ПК, мультимедийный проектор).
- Тест, материал в Microsoft Word (Приложение 1 ).
- Интерактивная программа “АвтоГраф”.
- Индивидуальный тест – раздаточный материал (Приложение 2 ).
Ход урока
1. Организационный момент
Озвучивается цель урока.
I этап урока
Проверка домашнего задания
- Собрать листочки с домашней самостоятельной работой из дидактического материала С-19 вариант 1.
- Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся при выполнении домашней самостоятельной работы.
II этап урока
1. Фронтальный опрос.
2. Блиц-опрос: выделите на доске верный ответ в тесте (Приложение 1, стр. 2-3).
III этап урока
Выполнение упражнений.
1. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .
2. Карточки (четыре слабых учащихся решают в тетради или на доске):
1) Найдите значение выражения: а) ; б)
.
2) Найдите область определения функций: а) ; б) y = .
3. Решить № 358 (а). Решите графически уравнение: .
Один ученик решает на доске, остальные в тетради. При необходимости учитель помогает ученику.
На интерактивной доске с помощью программы “АвтоГраф” построена прямоугольная система координат. Учащийся чертит соответствующие графики маркером, находит решение, записывает ответ. Затем задание проверяется: вводится формула с помощью клавиатуры, и график должен совпасть с уже нарисованным в этой же системе координат. Абсцисса пересечения графиков и есть корень уравнения.
Решение :
Ответ : 8
Решить № 360 (а). Постройте и прочитайте график функции:
Учащиеся выполняют задание самостоятельно.
Проверяется построение графика с помощью программы “АвтоГраф”, свойства записываются на доске одним учащимся (область определения, область значения, чётность, монотонность, непрерывность, нули и знакопостоянство, наибольшее и наименьшее значения функции).
Решение :
Свойства:
1) D(f ) = (-); E(f ) = , возрастает на }